Интерактивная геометрия и функции · Geometry & Area Equivalence
Визуализатор равносоставленности и перекраивания фигур
Геометрический визуализатор разрезания и перекладывания многоугольников: инвариантность площади
- В браузере
- Без регистрации
- Вывод формул
- Режим проектора
- Печатный лист A4
Окно геометрической демонстрации● 60 FPS
Параметры эксперимента
тип
секторов
cm
cm
cm
Расчёты и показатели в реальном времени
Теоретическая площадь
--
Exact analytical area
Основание равного прямоугольника
--
Circle unrolls to half-circumference πr
Высота равного прямоугольника
--
Corresponds to radius r or height h
Прирост периметра
--
Perimeter increases by 2r due to two exposed radial sides
Вывод формул в реальном времени
Основная формула:
--Подстановка значений:
--Вывод: --
Разбор типовых задач и анализ экзаменационных ошибок
Circle-to-Rectangle Perimeter Increase & Area Calculation
Условие задачи: A circular paper is cut into equal sectors and rearranged into an approximate rectangle. The perimeter of the rectangle is 10 cm greater than the circle's original circumference. Find the area of the circle.
Ход рассуждений: The two long sides sum to 2 × (πr) = 2πr (the circle's perimeter). The additional perimeter comes entirely from the two short ends, which each equal the radius r. Thus ΔC = 2r = 10 cm, giving r = 5 cm.
Пошаговый вывод формул:
- Step 1: Let the circle radius be r. Circle circumference C = 2πr.
- Step 2: Equivalent rectangle length = πr, width = r. Rectangle perimeter = 2(πr + r) = 2πr + 2r.
- Step 3: Perimeter difference ΔC = 2r = 10 cm, so r = 5 cm.
- Step 4: Compute area S = πr² = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm².
⚠️ Типичная ошибка на экзамене: Mistaking perimeter increase for area change; area is strictly conserved during rearrangement, while perimeter increases by exactly 2r.
Рабочий лист для урока и домашние задания
Q1. A circle with radius 6 cm is cut into 32 sectors to form a rectangle. By how many cm does the perimeter increase?
Answer Key: 12 cm (exactly 2r = 2 × 6)
Q2. A parallelogram (base 10 cm, height 6 cm) is cut along height and reshaped into a rectangle. How do area and perimeter change?
Answer Key: Area unchanged (60 cm²), perimeter decreases (slanted edge replaced by shorter vertical height)
Часто задаваемые вопросы и типичные заблуждения
Why are the top and bottom edges of the reassembled circle slightly wavy?
Each sector's outer edge is a circular arc. As slice count increases from 16 to 64 and infinity, the arc curvature flattens, and the boundary converges strictly to parallel line segments.