Интерактивная геометрия и функции · AP Calculus AB/BC Unit 6 (Integration & Riemann Sums), A-Level Further Maths (Definite Integrals), College Calculus I.

Визуализатор интегральных сумм Римана и определенного интеграла

Интерактивный визуализатор сумм Римана и геометрического смысла определенного интеграла

В браузере
Без регистрации
Вывод формул
Режим проектора
Печатный лист A4

Локальный расчёт · Приватно

Окно геометрической демонстрации● 60 FPS

Скорость:

Пресеты и типичные ловушки:

Параметры эксперимента

Функция f(x) (0 x², 1 sin x, 2 e^(0.5x), 3 16−x², 4 ln(x+2))

тип

Нижний предел a

Верхний предел b

Отрезков разбиения n

долей

Метод (0 левые, 1 правые, 2 средние, 3 трапеции, 4 Симпсон)

способ

Расчёты и показатели в реальном времени

Точный интеграл I

Exact value via Fundamental Theorem of Calculus

Текущая сумма Римана S_n

Sum of partition area strips

Абсолютная погрешность

Discrepancy from exact value

Шаг разбиения Δx

Δx = (b - a) / n

Вывод формул в реальном времени

Основная формула: --

Подстановка значений: --

Вывод: --

Разбор типовых задач и анализ экзаменационных ошибок

AP Calculus Exam: Right Riemann Sum for ∫₀⁴ x² dx with n=4

Условие задачи: For f(x) = x² on [0, 4] with n=4 equal subintervals, compute the Right Riemann Sum and determine if it overestimates or underestimates the exact integral.

Ход рассуждений: Step size Δx = (4-0)/4 = 1. Subinterval right endpoints: 1, 2, 3, 4 with values f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, f(4)=16. Since f(x) is monotonically increasing on [0, 4], the right sum strictly overestimates.

Пошаговый вывод формул:

Step 1: Compute step size Δx = (4 - 0) / 4 = 1.
Step 2: List right endpoints: x1=1, x2=2, x3=3, x4=4.
Step 3: Evaluate function values: f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, f(4)=16.
Step 4: Compute Right Riemann Sum R4 = 1 × (1 + 4 + 9 + 16) = 30.
Step 5: Exact integral via FTC: [x³/3] from 0 to 4 = 64/3 ≈ 21.333.
Step 6: Conclusion: Monotonically increasing function implies Right Riemann sum strictly overestimates (30 > 21.33).

⚠️ Типичная ошибка на экзамене: Confusing monotonicity with concavity: Left/Right sum over/underestimation depends on f'(x), whereas Trapezoidal rule over/underestimation depends on f''(x) (concavity).

Рабочий лист для урока и домашние задания

Q1. For a strictly convex (f''>0) increasing curve, does the Trapezoid rule overestimate or underestimate the exact integral?

Q2. Compute the exact analytical value of ∫₁³ (2x + 1) dx.

Часто задаваемые вопросы и типичные заблуждения

Why does Simpson's rule converge significantly faster than standard rectangular sums?

Rectangles approximate via degree 0 constants, trapezoids via degree 1 lines, but Simpson's rule fits degree 2 parabolas through every 3 consecutive points, giving O(Δx⁴) error convergence.