Geometria interativa e funções · AP Precalculus Unit 4 (Conic Sections & Polar Coordinates), A-Level Further Maths (Conics), High School Analytic Geometry.

Visualizador de cônicas e construção de elipses

Visualizador interativo de secções cônicas e propriedades focais da elipse: excentricidade

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Dedução ao vivo
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Folha de exercícios A4

Cálculo local · Privado

Janela de demonstração geométrica● 60 FPS

Velocidade:

Predefinições e armadilhas comuns:

Variáveis de controle do experimento

Semieixo maior a

Semidistância focal c

Ângulo do plano de corte β

Ângulo do traçador θ

Modo visual

modo

Deduções e métricas em tempo real

Semieixo menor b

b = √(a² - c²)

Excentricidade e

e = c / a (0 ≤ e < 1)

Comprimento total do barbante 2a

Invariant PF1 + PF2 = 2a

Distância entre pinos (focos) 2c

|F1F2| = 2c

Dedução de fórmulas em tempo real

Fórmula fundamental: --

Substituição de valores: --

Conclusão: --

Exemplos clássicos e armadilhas de exame

Analytic Geometry: Ellipse with a=5, c=4, Find Standard Equation & Directrix

Problema: An ellipse has foci on the x-axis with semi-major axis a = 5 and focal half-distance c = 4. Find its standard equation, eccentricity e, and directrix equations.

Estratégia analítica: From a² = b² + c², we get b² = 25 - 16 = 9 (b=3). Standard equation is x²/25 + y²/9 = 1. Eccentricity e = c/a = 4/5 = 0.8. Directrices are x = ±a²/c = ±25/4.

Derivação passo a passo:

Step 1: Compute semi-minor axis b: b = √(a² - c²) = √(25 - 16) = 3.
Step 2: Foci on x-axis => equation is x²/25 + y²/9 = 1.
Step 3: Compute eccentricity e = c / a = 4 / 5 = 0.8.
Step 4: Compute directrices: x = ±a²/c = ±25/4 = ±6.25.

⚠️ Erro conceitual comum: Confusing conic relationships: for an ellipse, a is largest (a² = b² + c²); for a hyperbola, c is largest (c² = a² + b²).

Folha de investigação em aula e exercícios

Q1. Two pins are spaced 6 cm apart holding a 10 cm string taut. What is the semi-minor axis b?

Q2. Which physical property of an ellipse is utilized in medical lithotripters for kidney stone treatment?

Perguntas frequentes e erros comuns

How do slice angle β and cone generator angle α dictate the conic section type?

Comparing slice angle β to cone generator slope α: β=0 gives a circle; β < α gives an ellipse; β = α (parallel to generator) produces a parabola; β > α (cutting both nappes) produces a hyperbola.