空间几何与函数微积分 · 数学几何与物理交叉
排水法测体积与长棒半浸没液面求解演示器
‘物体放入水中水面上升’听起来简单，但当一根很长的铁棒垂直插入圆柱水桶时，由于长棒自身占用了水桶横截面，水深剧烈暴涨！本工具实时计算并分段渲染未浸入、半浸没与完全没入三个阶段的液位与受力变化。
- 纯前端计算
- 无需注册
- 实时动态推导
- 大屏投屏模式
- A4 实验报告
3D 物理实验视窗● 60 FPS
实验控制变量
cm
cm
cm
cm
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实时推导与指标
current_water_h
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水桶中液面实测高度
delta_h
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比初始水位上升的高差
submerged_len
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长棒湿水部分的长度
disp_volume
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根据阿基米德原理等于排开液体体积
【实时推导与公式代入】
基本公式：
--代入过程：
--物理状态： --
【经典例题深度剖析与考场防坑】
竞赛名题：底面积 100cm² 的圆柱水桶插入 20cm² 的长铁棒
【题干】 一个底面积为 100 cm² 的圆柱形水桶装有 16 cm 深的水。现将一根底面积为 20 cm²、足够长的铁棒垂直插入水桶并一直插到桶底。求此时水桶中的水面升高到了多少厘米？
【解题思路】 水体积是守恒的！原来的水体积 V = S_桶 × h0 = 100 × 16 = 1600 cm³。当长棒插到桶底且未没入时，水只能容纳在棒与桶壁之间的环形区域中，有效底面积缩减为 S_环 = S_桶 - S_棒 = 100 - 20 = 80 cm²！因此新水深 h = V / S_环 = 1600 / 80 = 20 cm！
【详细计算步骤】
- 第一步：计算原桶内水的恒定体积 V = S_桶 × h0 = 100 × 16 = 1600 cm³。
- 第二步：长棒触底后，水所占有的有效横截面积缩减为 S_有效 = S_桶 - S_棒 = 100 - 20 = 80 cm²。
- 第三步：计算暴涨后的新水深 h = V / S_有效 = 1600 / 80 = 20 cm。
- 第四步：水面上升高度 Δh = 20 - 16 = 4 cm。
- 第五步：检查长棒浸入长度等于水深 20 cm，满足长棒足够长（未全部没入）的前提条件。
⚠️ 考场易错陷阱： 很多同学直接用排开体积除以原底面积：错误地认为排开体积是 S_棒 × h0，除以 S_桶得 3.2cm。大错特错！因为水面上升又反过来浸没了更多的棒，必须直接用环形有效底面积求解！
【课堂随堂探究单与课后作业】
Q1. 底面半径 10cm 的圆柱桶放入完全沉没的铁块后水面上升 3cm，铁块体积是多少？(π取3.14)
参考答案: 942 cm³ (即 3.14 × 10² × 3)
Q2. 长棒插入水桶中但未沉底，若把长棒继续往下按 2cm，水面上升的高度会如何？
参考答案: 上升高度等于 (2 × S_棒) / (S_桶 - S_棒)
【教学答疑与常见物理/数学误区】
如果长棒压入太深，完全被水淹没了，水面还会继续加速上升吗？
不会！一旦棒顶完全没入水下，排开体积就达到了长棒全长体积的最大上限，此后再往下压，排开体积不再增加，水面高度将保持完全恒定！